यूक्लिड प्रमेय

यूक्लिड प्रमेय संख्याओं पर आधारित सिद्धांत है जो यह प्रतिपादित करता है कि अभाज्य संख्याएँ (प्राइम नंबर) अनंत होती हैं। इसकी उपपत्ति सर्वप्रथम यूक्लिड ने अपनी कृति एलिमेंट्स में की थी। इस प्रमेय की लगभग 200 उपपत्तियाँ उपलब्ध हैं।

यूक्लिड की उपपत्ति

यूक्लिड ने अपनी कृति एलिमेंट्स (पुस्तक IX, प्रस्ताव 20) में एक साक्ष्य प्रस्तुत किया, जिसे यहाँ पर परिभाषित किया गया है।

विचलन

किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, उसका क्रमगुणित (फ़ैक्टोरियल) n! होता है। यह संख्या 2 से लेकर n तक की सभी संख्याओं को आपस में गुणा करके बनती है, इसलिए यह उन सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाती है। अब यदि इसमें 1 जोड़ दिया जाए यानी n!+1 करें, तो यह संख्या 2 से लेकर n तक की किसी भी संख्या से विभाजित नहीं होगी क्योंकि हर बार शेषफल 1 बचेगा।

ऑइलर की उपपत्ति

स्विस गणितज्ञ लियोनार्ड ऑइलर द्वारा दिया गया एक अन्य प्रमाण, अंकगणित के आधारभूत प्रमेय पर निर्भर करता है। उसके अनुसार प्रत्येक पूर्णांक का एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन होता है। यूलर ने अपनी बात को पुराने ढंग से लिखा था (आजकल के गणितीय संकेतों का उपयोग किए बिना और आधुनिक नियमों की तरह संख्याओं की सीमा तय किए बिना), जिसका सरल अर्थ यह है कि: $$\prod _{p\in P_{k}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p}}}}=\sum _{n\in N_{k}}{\frac {1}{n}},$$ जहाँ $P_{k}$ प्रथम k अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है, और $N_{k}$ उन धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है जिनके अभाज्य गुणनखंड सभी में हैं।

इसे सिद्ध करने के लिए, गुणनफल के प्रत्येक गुणनखंड को एक गुणोत्तर श्रेणी (ऐसी शृंखला जहाँ हर पद पिछले पद में एक ही संख्या गुणा करके आता है) के रूप में विस्तारित किया जाता है इसके बाद उस गुणनफल को योग पर वितरित कर दिया जाता है अर्थात् ब्रैकेट खोलकर गुणा कर दिया जाता है।

इन्हें भी देखें

• अपोलोनियस का प्रमेय
• एलिमेन्ट्स (यूक्लिड)
• यूक्लिडीन समष्टि
• यूक्लिडीय ज्यामिति

बाहरी कड़ियाँ

• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर यूक्लि़ड प्रमेय