भास्कराचार्य द्वितीय के सूत्र की उपपत्ति

द्विघात समीकरण के मूल निकालने का सूत्र भारत के प्रसिद्ध गणितज्ञ भास्कराचार्य (भास्कर द्वितीय) ने निकाला था।

इसमें दो चर $x_{1},x_{2}\,$ प्राप्त करने हैं जो समीकरण $ax^{2}+bx+c=0\,$ को सन्तुष्ट करते हैं।

सरल विधि : चर को बदलकर

यदि $2m=b/a$ तथा $n=c/a$ रखते हुए चर को बदल दिया जाय तो यह सरल हो जाता है-

$ax^{2}+bx+c=0\,$

• उपरोक्त अनुसार चर को बदलने पर,

$x^{2}+2mx+n=0\,$

• दोनों पक्षों में$m^{2}$ जोड़ने तथा n घटाने पर,

$x^{2}+2mx+m^{2}=m^{2}-n\,$

• हम देखते हैं कि बांया पक्ष पूर्ण वर्ग है।

$(x+m)^{2}=m^{2}-n\,$

• दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

$x+m=\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,$

• $m$ को दाएं पक्ष में ले जाने पर,

$x=-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,$

• सबसे ऊपर किए गये चर परिवर्तन को $m=b/2a$ तथा $n=c/a$ रखकर हटाने पर,

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\,$

• अन्ततः मूलों के लिए हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है-

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

उपपत्ति

• निम्नलिखित द्विघात समीकरण लेते हैं-

$ax^{2}+bx+c=0\,$ con $a\neq 0$

• दोनों पक्षों में $4a$ से गुणा करने पर,

$4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\,$

• दोनों तरफ $b^{2}$ जोड़ने पर,

$b^{2}+4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=b^{2}\,$

• या,

$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\,$

• बाएं पक्ष को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर,

$(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,$

• दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

$2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,$

• $b$ को दाएँ पक्ष में ले जाने पर,

$2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,$

• चूंकि $a\neq 0$ , दोनों तरफ $2a$ से भाग करने पर,

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

इन्हें भी देखें

• द्विघात समीकरण
• भास्कराचार्य द्वितीय

बाहरी कड़ियाँ

• Demostración: Fórmula Resolvente