फ़र्मी ऊर्जा

फरमी ऊर्जा क्वांटम यांत्रिकी में एक अवधारणा है जो आमतौर पर निरपेक्ष शून्य तापमान पर गैर-अंतःक्रियात्मक फरमिओन्स की एक क्वांटम प्रणाली में उच्चतम और निम्नतम रूप से व्याप्त एकल-कण राज्यों के बीच ऊर्जा अंतर का उल्लेख करती है। एक फर्मी गैस में, सबसे कम कब्जे वाली स्थिति को शून्य गतिज ऊर्जा के लिए लिया जाता है, जबकि एक धातु में, सबसे कम कब्जे वाली स्थिति को आमतौर पर प्रवाहकत्त्व बैंड के नीचे ले जाया जाता है।

शब्द "फर्मी ऊर्जा" का उपयोग अक्सर एक अलग अभी तक निकट से संबंधित अवधारणा, फर्मी स्तर (जिसे विद्युत रासायनिक क्षमता भी कहा जाता है) को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। फ़र्मी स्तर और फ़र्मी ऊर्जा के बीच कम से कम कुछ महत्वपूर्ण अंतर हैं। उनका उपयोग इस लेख में किया गया है:

• फरमी ऊर्जा को केवल निरपेक्ष शून्य पर परिभाषित किया जाता है, जबकि फरमी स्तर को किसी भी तापमान के लिए परिभाषित किया जाता है।

• फर्मी ऊर्जा एक ऊर्जा अंतर है (आमतौर पर एक गतिज ऊर्जा के अनुरूप), जबकि फेरमी स्तर कुल ऊर्जा स्तर होता है जिसमें गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा शामिल है।

• फरमी ऊर्जा को केवल गैर-अंतःक्रियात्मक फरमिओन्स के लिए परिभाषित किया जा सकता है (जहां संभावित ऊर्जा या बैंड एज एक स्थिर, अच्छी तरह से परिभाषित मात्रा है), जबकि फरमी स्तर (एक इलेक्ट्रॉन की विद्युत रासायनिक क्षमता) जटिल अंतःक्रिया प्रणालियों में भी अच्छी तरह से परिभाषित रहती है। थर्मोडायनामिक संतुलन पर।

चूँकि किसी धातु में फरमी स्तर पूर्ण शून्य पर सबसे अधिक व्याप्त एकल कण अवस्था की ऊर्जा है, तो एक धातु में फरमी ऊर्जा शून्य-तापमान पर फरमी स्तर और सबसे कम व्यस्त एकल-कण अवस्था के बीच ऊर्जा अंतर है।

प्रसंग

क्वांटम यांत्रिकी में, कणों का एक समूह जिसे फ़र्मियन के रूप में जाना जाता है (उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं। इसमें कहा गया है कि दो फर्म एक ही क्वांटम स्थिति पर कब्जा नहीं कर सकते। चूँकि एक आदर्श गैर-अंतःक्रियात्मक फ़र्मी गैस का एकल-कण स्थिर राज्यों के संदर्भ में विश्लेषण किया जा सकता है, इसलिए हम यह कह सकते हैं कि दो फ़र्मिएन्स एक ही स्थिर अवस्था में नहीं रह सकते। ये स्थिर राज्य आमतौर पर ऊर्जा में अलग होंगे। पूरे सिस्टम की जमीनी स्थिति का पता लगाने के लिए, हम एक खाली सिस्टम के साथ शुरू करते हैं, और एक समय में कणों को जोड़ते हैं, लगातार सबसे कम ऊर्जा वाले स्थिर स्थिर राज्यों को भरते हैं। जब सभी कणों को डाल दिया गया है, तो फ़र्मी ऊर्जा उच्चतम अधिकृत राज्य की गतिज ऊर्जा है |

परिणामस्वरूप, भले ही हमने एक फ़र्मी गैस से सभी संभावित ऊर्जा को पूर्ण शून्य तापमान के पास ठंडा करके निकाल दिया है, फिर भी फ़र्म तेजी से चारों ओर घूम रहे हैं। सबसे तेजी से फैमी ऊर्जा के बराबर गतिज ऊर्जा के लिए एक वेग से आगे बढ़ रहे हैं। इस गति को फर्मी वेग के रूप में जाना जाता है। केवल जब तापमान संबंधित फर्मी तापमान से अधिक हो जाता है, तो क्या इलेक्ट्रॉन निरपेक्ष शून्य की तुलना में काफी तेजी से बढ़ना शुरू करते हैं।

फेरमी ऊर्जा धातुओं और सुपरकंडक्टर्स की ठोस अवस्था भौतिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह निम्न तापमान हीलियम (सामान्य और सुपरफ्लूड 3He) जैसी क्वांटम तरल पदार्थों की भौतिकी में भी एक बहुत महत्वपूर्ण मात्रा है, और यह परमाणु भौतिकी के लिए और गुरुत्वाकर्षण पतन के खिलाफ सफेद बौने सितारों की स्थिरता को समझने के लिए काफी महत्वपूर्ण है।

सूत्र और विशिष्ट मूल्य

एक तीन-आयामी (गैर-सापेक्षवादी) प्रणाली में समान स्पिन-में फरमिओन्स के गैर-अंतःक्रियात्मक पहनावा के लिए फर्मी ऊर्जा निम्न द्वारा दी गई है:

$E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}$

जहाँ N कणों की संख्या है, प्रत्येक फरमिओन्स के शेष द्रव्यमान को m₀, V को सिस्टम की मात्रा और $\hbar$को घटाया प्लैंक स्थिरांक।

धातु

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के तहत, एक धातु में इलेक्ट्रॉनों को एक फर्मी गैस बनाने के लिए माना जा सकता है। संख्या घनत्व $N/V$ में चालन इलेक्ट्रॉनों की सीमा लगभग 10²⁸ और 10²⁹ इलेक्ट्रॉनों / m3 के बीच होती है, जो साधारण ठोस पदार्थों में परमाणुओं का विशिष्ट घनत्व भी होता है। यह संख्या घनत्व 2 से 10 इलेक्ट्रॉवोलट्स के क्रम की एक फर्मी ऊर्जा पैदा करता है।

सफेद बौना

सफेद बौनों के रूप में जाने जाने वाले सितारों में हमारे सूर्य के बराबर द्रव्यमान होता है, लेकिन इसका दायरा लगभग सौवां होता है। उच्च घनत्व का मतलब है कि इलेक्ट्रॉन अब एकल नाभिक के लिए बाध्य नहीं हैं और इसके बजाय एक पतित इलेक्ट्रॉन गैस बनाते हैं। उनकी फर्मी ऊर्जा लगभग 0.3 MeV है।

नाभिक

एक और विशिष्ट उदाहरण एक परमाणु के नाभिक में नाभिक का है। नाभिक की त्रिज्या विचलन स्वीकार करती है, इसलिए फ़र्मि ऊर्जा के लिए एक विशिष्ट मूल्य आमतौर पर 38 Mev के रूप में दिया जाता है।

संबंधित मात्रा

फर्मी ऊर्जा के लिए उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करना, विभिन्न संबंधित मात्रा उपयोगी हो सकता है।

फर्मी तापमान को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$T_{\mathrm {F} }={\frac {E_{\mathrm {F} }}{k_{\rm {B}}}}$

कहा पे $k_{\rm {B}}$ बोल्ट्जमैन स्थिर है और $E_{\mathrm {F} }$ फर्मी ऊर्जा। फर्मी तापमान को तापमान के रूप में माना जा सकता है, जिस पर थर्मल प्रभाव फर्मी आँकड़ों से जुड़े क्वांटम प्रभावों की तुलना में होते हैं। धातु के लिए फर्मी तापमान कमरे के तापमान के ऊपर परिमाण के आदेशों का एक जोड़ा है।

इस संदर्भ में परिभाषित अन्य मात्राएं फर्मी गति हैं

$p_{\mathrm {F} }={\sqrt {2mE_{\mathrm {F} }}}$

और फर्मी वेग

$v_{\mathrm {F} }={\frac {p_{\mathrm {F} }}{m}}$

ये मात्राएं क्रमशः गति और समूह के वेग हैं, जो फ़र्मी सतह पर एक फ़र्मियन की है।

फर्मी की गति के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है

$p_{\mathrm {F} }=\hbar k_{\mathrm {F} }$

कहा पे $k_{\mathrm {F} }$फर्मी क्षेत्र की त्रिज्या है और इसे फर्मी वऻवेवेक्टर कहा जाता है।

ये मात्रा उन मामलों में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं होती हैं, जहां फर्मी सतह गैर-गोलाकार है।