फलन आरेख

गणित में, फलन का आरेख $f$ उन क्रमित युग्मों $(x,y)$ का सेट होता है, जहाँ $f(x)=y.$ आम तौर पर यदि $x$ और $f(x)$ वास्तविक संख्याएँ हों, तो ये युग्म कार्तीय निर्देशांक में बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और अक्सर एक वक्र बनाते हैं। किसी फलन के ग्राफ़ का चित्रात्मक रूप भी प्लॉट के रूप में जाना जाता है।

यदि फलन दो चर वाले हैं (अर्थात, फलन का क्षेत्र $(x,y)$ युग्मों से बना है), तो ग्राफ़ आमतौर पर उन क्रमित त्रिगुणों $(x,y,z)$ का सेट होता है, जहाँ $f(x,y)=z$ . यह तीन-आयामी स्थान का एक उपसमूह है; दो वास्तविक चर वाले सतत वास्तव-संख्यात्मक फलन के लिए, इसका ग्राफ़ एक सतह बनाता है, जिसे सतही प्लॉट के रूप में देखा जा सकता है।

विज्ञान, अभियांत्रिकी, प्रौद्योगिकी, वित्त और अन्य क्षेत्रों में, ग्राफ़ विभिन्न उद्देश्यों के लिए उपयोग किए जाते हैं। सबसे सरल रूप में, एक चर को दूसरे के सापेक्ष चित्रित किया जाता है, आमतौर पर आयताकार निर्देशांक का उपयोग करके।

किसी फलन का ग्राफ़, संबंध का विशेष प्रकार है। आधुनिक गणित की नींव में और आमतौर पर समुच्चय सिद्धांत में, किसी फलन को अक्सर उसके ग्राफ़ के बराबर माना जाता है।^[1] हालाँकि, यह अक्सर उपयोगी होता है कि फलनों को मैपिंग के रूप में देखा जाए,^[2] जिसमें केवल इनपुट और आउटपुट का संबंध ही नहीं, बल्कि डोमेन और कोडोमेन का सेट भी शामिल होता है।

परिभाषा

यदि किसी फलन $f:X\to Y$ के लिए, $X$ (डोमेन) से $Y$ (कोडोमेन) तक, फलन का ग्राफ़ वह सेट है^[3] $G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},$ जो कार्तीय गुणन $X\times Y$ का उपसमूह है। सेट थ्योरी के अनुसार, किसी फलन को उसके ग्राफ़ के रूप में भी पहचाना जा सकता है, हालांकि औपचारिक रूप से, एक फलन तीन तत्वों (डोमेन, कोडोमेन और ग्राफ़) से बना होता है।

उदाहरण

एक चर वाले फलन

फलन $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ के लिए, $f(x)={\begin{cases}a,&{\text{यदि }}x=1,\\d,&{\text{यदि }}x=2,\\c,&{\text{यदि }}x=3,\end{cases}}$ इसका ग्राफ़ सेट $\{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}$ का उपसमूह है: $G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.$