प्रमात्रिक अध्यारोपण

प्रमात्रिक अध्यारोपण एवं विअसंगति

प्रमात्रिक अध्यारोपण अथवा क्वांटम सुपरपोज़िशन (अंग्रेज़ी: Quantum superposition) प्रमात्रा यांत्रिकी का एक मौलिक सिद्धांत है। यह बताता है कि श्रोडिंगर समीकरण के हलों का रैखिक संयोजन भी उसी श्रोडिंगर समीकरण का हल होता है। यह इस तथ्य से उपजता है कि श्रोडिंगर समीकरण समय और स्थिति में एक रैखिक अवकल समीकरण है। अधिक सटीक रूप में, किसी तंत्र की अवस्था उस तंत्र को नियंत्रित करने वाले श्रोडिंगर समीकरण के सभी अभिलाक्षणिक फलनों (eigenfunctions) के रैखिक संयोजन द्वारा दी जाती है।

एक उदाहरण: प्रमात्रिक सूचना प्रसंस्करण में प्रयुक्त क्विबिट (qubit) है। क्विबिट की सामान्यतम अवस्था आधार अवस्थाओं https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed066a3ad158da0ad6d6a421a606b1c8a35eb95b और https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f53021ca18e77477ee5bd3c1523e5830189ec5c का एक अध्यारोपण होती है:

$|\Psi \rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle ,$

जहाँ:

• |Ψ⟩ क्विबिट की प्रमात्रिक अवस्था है।
• |0⟩ और |1⟩ डिराक संकेतन में श्रोडिंगर समीकरण के विशिष्ट हल हैं।
• c₀ और c₁ दो संभाव्यता आयाम हैं, जो दोनों सम्मिश्र संख्याएँ हैं।
• यहाँ |0⟩ शास्त्रीय ० बिट के तदनुरूपी है, और |1⟩ शास्त्रीय १ बिट के।
• तंत्र को |0⟩ या |1⟩ अवस्था में मापने की संभावनाएँ क्रमशः |c₀|² और |c₁|² द्वारा दी जाती हैं (बोर्न का नियम)। मापन से पूर्व क्विबिट दोनों अवस्थाओं के अध्यारोपण में होता है।

द्वि-रंध्र प्रयोग में व्यतिकरण फ्रिंज अध्यारोपण सिद्धांत का एक अन्य उदाहरण प्रदान करते हैं।

तरंग अभिधारणा

प्रमात्रा यांत्रिकी का सिद्धांत अभिधारित करता है कि एक तरंग समीकरण किसी प्रमात्रिक तंत्र की अवस्था को सभी समयों पर पूर्णतः निर्धारित करता है। साथ ही, यह अवकल समीकरण रैखिक और समघात होने के लिए प्रतिबंधित है। ये शर्तें बताती हैं कि तरंग समीकरण के किन्हीं दो हलों, https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddcd58cf9c1c4dd1eb32a29c1e3abf425ec72600 और https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1125553c0a026635c63ab2ad542b43174aca9bbe, के लिए, उनका रैखिक संयोजन भी तरंग समीकरण का हल होता है:

$$\Psi =c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}$$

मनमाने सम्मिश्र गुणांकों https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b7dc6d279091d354e0b90889b463bfa7eb7247 और https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b30ba1b247fb8d334580cec68561e749d24aff2 के लिए। यदि तरंग समीकरण के दो से अधिक हल हैं, तो ऐसे सभी हलों का संयोजन भी वैध हल होगा।

रूपांतरण

प्रमात्रिक तरंग समीकरण को स्थिति के फलनों, https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860ed8dcca03bb55dda0fe92c92a079038be797b का उपयोग करके हल किया जा सकता है, या संवेग के फलनों https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96584b5a2ed608930bfa349e822c564a5298250d का उपयोग करके। फलस्वरूप, संवेग फलनों का अध्यारोपण भी हल होते हैं:

$$\Phi ({\vec {p}})=d_{1}\Phi _{1}({\vec {p}})+d_{2}\Phi _{2}({\vec {p}})$$

स्थिति और संवेग के हल एक रैखिक रूपांतरण, फूरिये रूपांतरण, द्वारा संबंधित होते हैं। यह रूपांतरण स्वयं एक प्रमात्रिक अध्यारोपण है और प्रत्येक स्थिति तरंग फलन को संवेग तरंग फलनों के अध्यारोपण के रूप में दर्शाया जा सकता है और इसका विपरीत भी सत्य है। ये अध्यारोपण अनंत संख्या में घटक तरंगों को सम्मिलित करते हैं।

आधार अवस्थाओं में सामान्यीकरण

अन्य रूपांतरण किसी प्रमात्रिक हल को अभिलाक्षणिक सदिशों के अध्यारोपण के रूप में व्यक्त करते हैं, जहाँ प्रत्येक प्रमात्रिक तंत्र पर किए गए मापन के संभावित परिणाम के अनुरूप होता है। एक गणितीय संकारक https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f595a6c73d1183d6a1b2ac21fe47ac28c1483821 के लिए एक अभिलाक्षणिक सदिश https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e709a809cfd3cfbb647fe22c8d1f81573f4c7ae का समीकरण है:

$${\hat {A}}\psi _{i}=\lambda _{i}\psi _{i}$$

जहाँ https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fde940918edf84caf3d406cc7d31949166820f प्रेक्षणीय राशि $A$ के लिए एक संभावित मापित प्रमात्रिक मान है। इन अभिलाक्षणिक सदिशों का अध्यारोपण किसी भी हल को निरूपित कर सकता है:

$$\Psi =\sum _{n}a_{i}\psi _{i}.$$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e709a809cfd3cfbb647fe22c8d1f81573f4c7ae जैसी अवस्थाओं को आधार अवस्थाएँ कहा जाता है।

अध्यारोपणों के लिए संक्षिप्त संकेतन

प्रमात्रिक तंत्र के हलों पर महत्वपूर्ण गणितीय संक्रियाएँ केवल अध्यारोपण के गुणांकों का उपयोग करके की जा सकती हैं, अध्यारोपित फलनों के विवरण को दबाए बिना। इससे प्रमात्रिक तंत्र डिराक ब्रा-केट संकेतन (Dirac bra-ket notation) में व्यक्त होते हैं:

$$|v\rangle =d_{1}|1\rangle +d_{2}|2\rangle$$

यह दृष्टिकोण प्रमात्रिक स्पिन जैसे तंत्रों के लिए विशेष रूप से प्रभावी है जिनका कोई शास्त्रीय निर्देशांक अनुरूप नहीं होता। ऐसा संक्षिप्त संकेतन प्रमात्रा यांत्रिकी पर पाठ्यपुस्तकों और शोध पत्रों में बहुत आम है और आधार अवस्थाओं का अध्यारोपण प्रमात्रा यांत्रिकी में एक मौलिक उपकरण है।