परिमाण (गणित)

गणित में किसी गणितीय वस्तु का परिमाण (अंग्रेज़ी: Magnitude) या आकार वह गुण है जो यह निर्धारित करता है कि वह वस्तु अपनी श्रेणी की अन्य वस्तुओं की अपेक्षा बड़ी है अथवा छोटी। अधिक औपचारिक रूप से कहा जाए तो किसी वस्तु का परिमाण उस श्रेणी की वस्तुओं को क्रमबद्ध (या रैंक करना) करने पर प्रदर्शित परिणाम होता है, जिससे स्पष्ट हो जाता है कि प्रत्येक वस्तु का क्रम (मूल्य) क्या है। परिमाण की संकल्पना प्राचीन यूनान तक जाती है और इसे एक वस्तु से दूसरी वस्तु तक की दूरी के माप के रूप में लागू किया गया। संख्याओं के सन्दर्भ में, किसी संख्या का परिमाण सामान्यतः उस संख्या और शून्य के बीच की दूरी, अर्थात् उसका '''मूल्यमान''' (absolute value) होता है।

सदिश (वेक्टर) क्षेत्र में, '''यूक्लीडीय मानक''' (Euclidean norm) परिमाण का एक मापक है, जिसका उपयोग किसी स्थान में दो बिंदुओं के बीच की दूरी परिभाषित करने हेतु किया जाता है। भौतिकी में, परिमाण को मात्राएँ या दूरी के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। '''आकार का क्रम''' (order of magnitude) सामान्यतः दशमलव पद्धति में किसी संख्या और दूसरी संख्या के दशमलव स्थानों के बीच के दस गुणा के अनुपात को दर्शाता है।

इतिहास

प्राचीन यूनानियों ने कई प्रकार के परिमाणों के बीच अंतर किया, जिनमें शामिल हैंः

• धनात्मक भिन्न (positive fractions)
• रेखा खंड (line segments) — लंबाई के आधार पर क्रमबद्ध
• समतलीय आकृतियाँ (plane figures) — क्षेत्रफल के आधार पर क्रमबद्ध
• ठोस पिण्ड (solids) — आयतन के आधार पर क्रमबद्ध

• कोण (angles) — कोणमाप के आधार पर क्रमबद्ध

उन्होंने सिद्ध किया कि रेखा खंडों और समतलीय आकृतियों का परिमाण समान अथवा समरूप नहीं हो सकता। उन्होंने नकारात्मक परिमाणों को महत्त्वपूर्ण नहीं माना, और आज भी परिमाण का प्रयोग मुख्यतः ऐसे संदर्भों में होता है जहाँ शून्य सबसे छोटा आकार हो या शून्य से भी कम कोई परिमाण अर्थपूर्ण न हो।

संख्याएँ

किसी भी संख्या $x$ का परिमाण सामान्यतः उसके मूल्यमान या मॉड्यूलस के रूप में लिया जाता है, जिसे https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb41e5fd5dc37eaa1718dfbf4bc082edb991936 द्वारा निरूपित किया जाता है।

वास्तविक संख्याएँ

किसी वास्तविक संख्या r का मूल्यमान निम्नानुसार परिभाषित होता है:

("if" का अर्थ "यदि" है)

$\left|r\right|=r,{\text{ if }}r{\text{ ≥ }}0$

$\left|r\right|=-r,{\text{ if }}r<0.$

मूल्यमान को वास्तविक संख्या रेखा पर शून्य से संख्या की दूरी के रूप में भी माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, 70 और -70 दोनों का निरपेक्ष मान 70 है।

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.$

1. $\left\|\mathbf {x} \right\|,$
2. $\left|\mathbf {x} \right|.$

इन्हें भी देखें

• संख्याबोध
• सदिश (वेक्टर) का संकेतन
• गणनांक