थीटा फलन

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गणितीय सम्मिश्र विश्लेषण में, थीटा फ़ंक्शन कई जटिल चर के कार्यों का एक विशेष वर्ग बनाते हैं। इन कार्यों की व्यवस्थित रूप से गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी द्वारा जांच की गई थी। थीटा फलन अण्डाकार कार्यों में से हैं। उनका उपयोग गणितीय विश्लेषण और उष्मागतिकी में किया जाता है। ग्रासमैन के बीजगणित के लिए सामान्यीकृत, थीटा फ़ंक्शन प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धान्त में भी दिखाई होते हैं।

परिभाषा[संपादित करें]

मूल जैकोबी थीटा फलन अर्ध-दोगुने आवधिक अण्डाकार कार्य हैं और उन्हें अनंत राशि के रूप में परिभाषित किया गया है:

प्रोटेस्टेंट जर्मन गणितज्ञ कार्ल गुस्ताव जैकोब जैकोबी ने 1829 में इन विश्लेषणात्मक कार्यों की शुरुआत की।

उन्होंने उन्हें "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" पुस्तक में नोट किया।

अतिरिक्त जैकोबी थीटा फलन[1] को निम्नलिखित तरीकों से अनंत उत्पादों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

ये तीन फलन गणित में नियमित रूप से उपयोग किए जाते हैं और उपरोक्त चार कार्यों से बीजगणितीय रूप से संबंधित हैं।

इन तीन थीटा फलनों का उपयोग करके "sn", "cn" और "dn" फलनों[2] को भी परिभाषित किया जा सकता है।

इन कार्यों के लिए तथाकथित थीटा शून्य मान (जर्मन भाषा में: Theta-Nullwerte) भी परिभाषित किए गए हैं:

यहां दिखाए गए अनंत योग बिल्कुल वही मान देते हैं जो x-मान शून्य के लिए उल्लिखित अनंत उत्पाद हैं।

फलनों के गुण[संपादित करें]

थीटा कार्यों के लिए जोड़ प्रमेय इस प्रकार हैं:

जैकोबी पहचान इन समीकरणों से उत्पन्न होती है:

गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन ने इस पहचान[3] की खोज की और इसे अपने प्रसिद्ध काम "Modular Equations and Approximations to π" में लिखा:

यदि शर्त "0 < s < 1" लागू होती है, तो निम्न समीकरण मान्य है:

कुछ फ़ंक्शन मानों की गणना निम्न सूत्र से की जा सकती है:

निम्नलिखित सूत्र "के" फ़ंक्शन पर लागू होते हैं:

क्योंकि फ़ंक्शन "के" निम्नलिखित अभिन्न द्वारा परिभाषित किया गया है:

फलनों के मान[संपादित करें]

थीटा फलनों में निम्नलिखित मान[4] होते हैं:

सन्दर्भ[संपादित करें]

  1. "Derivative of the Jacobi theta function: Introduction to the Jacobi theta functions". functions.wolfram.com. अभिगमन तिथि 2021-07-28.
  2. "What is a Theta Function?". Mathematics Stack Exchange. अभिगमन तिथि 2021-07-28.
  3. Weisstein, Eric W. "Ramanujan g- and G-Functions". mathworld.wolfram.com (अंग्रेज़ी में). अभिगमन तिथि 2021-07-28.
  4. "Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications". Journal of Mathematical Analysis and Applications (अंग्रेज़ी में). 292 (2): 381–400. 2004-04-15. आइ॰एस॰एस॰एन॰ 0022-247X. डीओआइ:10.1016/j.jmaa.2003.12.009.