तितली प्रभाव

द्विक लोलक के साथ तितली प्रभाव का प्रायोगिक प्रदर्शन एक ही द्विक लोलक की छह रिकॉर्डिंग्स। प्रत्येक में लोलक लगभग समान प्रारंभिक अवस्था से शुरू होता है। समय बीतने के साथ, गतिकी में अंतर लगभग अगोचर से भारी हो जाते हैं।

अक्रम सिद्धान्त में, तितली प्रभाव (अंग्रेज़ी: Butterfly effect) प्रारंभिक परिस्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता को दर्शाता है, जहाँ एक नियतात्मक अरेखीय तंत्र की किसी एक अवस्था में छोटा परिवर्तन बाद की अवस्था में बड़े अंतर उत्पन्न कर सकता है।

यह शब्द गणितज्ञ और मौसम वैज्ञानिक एडवर्ड नॉर्टन लॉरेंज़ के कार्य से जुड़ा है। उन्होंने बताया कि यह अवधारणा एक बवंडर के विवरण (निर्माण का सटीक समय, मार्ग) पर दूर बैठी तितली के पंख फड़फड़ाने जैसे सूक्ष्म विचलनों के प्रभाव के उदाहरण से ली गई है। लॉरेंज़ ने मूल रूप से एक समुद्री पक्षी द्वारा तूफान पैदा करने का उदाहरण दिया था, परंतु १९७२ तक उन्हें तितली और बवंडर का काव्यात्मक उदाहरण अपनाने के लिए प्रेरित किया गया। उन्होंने यह प्रभाव तब खोजा जब उन्होंने अपने मौसम मॉडल को गोलित प्रारंभिक डेटा (जो महत्वहीन लगता था) से चलाया। उन्होंने देखा कि मॉडल बिना गोलाई वाले डेटा जैसे परिणाम नहीं दे पाया। प्रारंभिक परिस्थितियों में अत्यंत सूक्ष्म परिवर्तन ने पूर्णतः भिन्न परिणाम उत्पन्न कर दिया।

छोटे कारणों के मौसम पर बड़े प्रभाव का विचार फ्रांसीसी गणितज्ञ व भौतिकविद् आन्री पांकरे ने पहले ही स्वीकार किया था। अमेरिकी गणितज्ञ व दार्शनिक नॉर्बर्ट वीनर ने भी इस सिद्धांत में योगदान दिया। लॉरेंज़ के कार्य ने पृथ्वी के वायुमंडल की अस्थिरता की अवधारणा को मात्रात्मक आधार दिया और इसे अरैखिक गतिकी व नियतात्मक अराजकता से गुजर रहे गतिशील तंत्रों के गुणों से जोड़ा।

तितली प्रभाव की अवधारणा का उपयोग अब मौसम विज्ञान के संदर्भ से बाहर भी किसी भी ऐसी स्थिति के लिए किया जाता है जहाँ छोटा परिवर्तन बड़े परिणामों का कारण माना जाता है।

दृश्य उदाहरण

लॉरेंज़ आकर्षक में तितली प्रभाव
समय ० ≤ t ≤ ३० (बड़ा)		z-निर्देशांक (बड़ा)
ये चित्र लॉरेंज़ आकर्षक में दो प्रक्षेप पथों (एक नीला, दूसरा पीला) के त्रि-आयामी विकास के दो खंड दिखाते हैं, जो x-निर्देशांक में केवल १०−५ के अंतर वाले दो प्रारंभिक बिंदुओं से शुरू होते हैं। प्रारंभ में दोनों पथ समान दिखते हैं (नीले और पीले पथों के z-निर्देशांक में अंतर से स्पष्ट), किंतु t > २३ पर यह अंतर पथ के मान जितना बड़ा हो जाता है। शंकुओं की अंतिम स्थिति दर्शाती है कि t > ३० पर दोनों पथ अब समान नहीं हैं।

सिद्धांत एवं गणितीय परिभाषा

लॉरेंज़ के विचित्र आकर्षक का आरेख (ρ=२८, σ=१०, β=८/३)तितली प्रभाव या प्रारंभिक परिस्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता गतिशील तंत्र का वह गुण है जहाँ आकर्षक पर विभिन्न निकटवर्ती प्रारंभिक अवस्थाओं से शुरू होने पर, पुनरावृत्त बिंदु एक-दूसरे से मनमाने ढंग से दूर हो जाते हैं।

पुनरावृत्ति (किसी तंत्र का अपनी प्रारंभिक अवस्था की ओर अनुमानित लौटना) और प्रारंभिक परिस्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता – अराजक गति के ये दो मुख्य घटक हैं। इनका व्यावहारिक परिणाम यह है कि जटिल तंत्रों (जैसे मौसम) का एक निश्चित समय सीमा (मौसम के मामले में लगभग एक सप्ताह) के बाद पूर्वानुमान करना कठिन हो जाता है, क्योंकि वायुमंडलीय प्रारंभिक अवस्थाओं को पूर्ण सटीकता से मापना असंभव है।

एक गतिशील तंत्र प्रारंभिक परिस्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता प्रदर्शित करता है यदि निकटवर्ती बिंदु समय के साथ घातांकीय दर से अलग हो जाएँ। यह परिभाषा सांस्थितिक नहीं, बल्कि मूलतः मीट्रिक है। लॉरेंज़ ने संवेदनशील निर्भरता को इस प्रकार परिभाषित किया:

"यह वह गुण है जो किसी कक्षा (अर्थात् समाधान) को चिह्नित करता है, यदि अधिकांश अन्य कक्षाएँ जो किसी बिंदु पर इसके निकट से गुजरती हैं, समय बीतने के साथ इसके निकट नहीं रहतीं।"

यदि M मानचित्र ft के लिए अवस्था समष्टि है, तो ft प्रारंभिक परिस्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता प्रदर्शित करता है यदि M में किसी x और किसी δ > ० के लिए, M में कोई y उपस्थित हो जहाँ दूरी d(. , .) के लिए ०<d(x,y)<δ हो और जहाँ

$d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\mathrm {e} ^{a\tau }\,d(x,y)$

किसी धनात्मक प्राचल a के लिए हो। परिभाषा यह आवश्यक नहीं करती कि पड़ोस के सभी बिंदु आधार बिंदु x से अलग हों, बल्कि यह एक धनात्मक ल्यापुनोव प्रसार घातांक की माँग करती है। धनात्मक ल्यापुनोव प्रसार घातांक के अतिरिक्त, अराजक तंत्रों में परिबद्धता एक अन्य प्रमुख विशेषता है।

प्रारंभिक परिस्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता प्रदर्शित करने वाला सरलतम गणितीय ढाँचा लॉजिस्टिक मानचित्र के एक विशिष्ट प्राचलीकरण द्वारा प्रदान किया जाता है:

$x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}\leq 1,$

जिसका (अधिकांश अराजक मानचित्रों के विपरीत) एक संवृत-रूप समाधान है:

$x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )$

जहाँ प्रारंभिक अवस्था प्राचल θ, θ=π1​sin−1(x01/2​) द्वारा दिया जाता है। यदि θ परिमेय है, तो परिमित पुनरावृत्तियों के बाद xn​ एक आवर्ती अनुक्रम में मैप हो जाता है। किंतु लगभग सभी θ अपरिमेय हैं, और अपरिमेय θ के लिए xn​ कभी भी स्वयं को नहीं दोहराता—यह अनावर्ती है। यह समाधान समीकरण अराजकता के दो मुख्य गुणों—खींचाव और तह—को स्पष्टतः प्रदर्शित करता है: गुणक २ⁿ खींचाव की घातांकीय वृद्धि दिखाता है, जो प्रारंभिक परिस्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता (तितली प्रभाव) उत्पन्न करता है, जबकि वर्गित ज्या फलन xn​ को [०, १] की सीमा में तह कर देता है।