उल्लेखनीय सर्वसमिकाएँ

यहाँ कुछ प्रमुख गुणनफल दिये गये हैं जिनके प्रयोग से गुणनखण्ड एवं अन्य कार्यों में बहुत सुविधा होती है।

उभयनिष्ट गुणक (common factor)

उभयनिष्ट गुणक का चित्रात्मक निरूपण

$c(a+b)=ca+cb\,$

उदाहरण

$3x(4x+6y)=12x^{2}+18xy\,$

द्विपद का वर्ग

द्विपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$

त्रिपदी व्यंजक : $a^{2}+2ab+b^{2}\;$, पूर्ण वर्ग त्रिपद कहलाता है।

इसी प्रकार,

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,$

उदाहरण

$(2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+2(2x)(-3y)+(-3y)^{2}\,$

सरल करने पर:

$(2x-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}\,$

दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो

चित्रात्मक निरूपण

$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\,$

उदाहरण

$(3x+4)(3x-7)=(3x)(3x)+(3x)(-7)+(3x)(4)+(4)(-7)\,$

पदों को एकत्र करने पर:

$(3x+4)(3x-7)=9x^{2}-21x+12x-28\,$

या:

$(3x+4)(3x-7)=9x^{2}-9x-28\,$

दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)

'द्विपद युग्म' का गुणनफल

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\,$

उदाहरण

$(3x+5y)(3x-5y)=\,$

$(3x)(3x)+(3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)\,$

पदों को एकत्र करने पर:

$(3x+5y)(3x-5y)=9x^{2}-25y^{2}\,$

बहुपद का वर्ग

एक त्रिपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc)\,$

$(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\,$

उदाहरण

$(3x+2y-5z)^{2}=(3x+2y-5z)(3x+2y-5z)\,$

गुणा करने पर:

$(3x+2y-5z)^{2}=3x\cdot 3x+3x\cdot 2y+3x\cdot (-5z)\,$

$+2y\cdot 3x+2y\cdot 2y+2y\cdot (-5z)\,$

$+(-5z)\cdot 3x+(-5z)\cdot 2y+(-5z)\cdot (-5z)\,$

पदों को एकत्र करने के बाद:

$(3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+2(6xy-15xz-10yz)\,$

या:

$(3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+12xy-30xz-20yz\,$

द्विपद का घन

द्विपद के घन का आयतनों के योग के रूप में चित्रण

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$

काशी (Cauchy) सर्वसमिका:

$(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)\,$

उदाहरण

$(x+2y)^{3}=x^{3}+3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}+(2y)^{3}\,$

पदों का समूह बनाने के बाद:

$(x+2y)^{3}=x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}\,$

इसी प्रकार,

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,$

काशी (Cauchy) सर्वसमिका:

$(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)\,$

उदाहरण

$(x-2y)^{3}=x^{3}-3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}-(2y)^{3}\,$

पदों का समूह बनाने के बाद:

$(x-2y)^{3}=x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}\,$

आर्गण्ड सर्वसमिका (Argand Identity)

$(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1\,$

गाउस (Gauss) की सर्वसमिका

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)\,$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc={\frac {1}{2}}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}]\,$

लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका

$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\,$

$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\,$

$(a+b)^{4}-(a-b)^{4}=8ab(a^{2}+b^{2})\,$

लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका

$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}\,$

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}\,$

अन्यान्य सर्वसमिकाएँ

घनों का योग

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,$

घनों का अन्तर

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,$

nवें घातों का योग

यदि और केवल यदि "n" विषम संख्या हो तो, $a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots +b^{n-1})\,$

nवें घातों का अन्तर

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})\,$

निम्नलिखित सूत्र किसी घन को दो वर्गों के अन्तर के रूप में अभिव्यक्त करता है-

$a^{3}=\left({\frac {(a+1)a}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {(a-1)a}{2}}\right)^{2}$

इन्हें भी देखें

• ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका
• द्विपद
• त्रिपद
• गुणनखण्ड
• पॉस्कल त्रिभुज