अतिपरवलयिक फलन

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A ray through the unit hyperbola in the point , where is twice the area between the ray, the hyperbola, and the -axis. For points on the hyperbola below the -axis, the area is considered negative (see animated version with comparison with the trigonometric (circular) functions).

गणित में, अतिपरवलयिक फलन (hyperbolic functions) ऐसे फलन हैं जो सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों से मिलते-जुलते किन्तु अलग फलन हैं।

हाइपरबोलिक साइन "sinh" (/ˈsɪn/ या /ˈʃn/),[1] और हाइपरबोलिक कोसाइन "cosh" (/ˈkɒʃ/),[2] मूलभूत अतिपरवलयिक फलन हैं। इनसे हाइपरबोलिक टैन्जेन्ट "tanh" (/ˈtæn/ या /ˈθæn/),[3] हाइपरबोलिक कोसेकेन्ट "csch" या "cosech" (/ˈkʃɛk/[2] या /ˈksɛ/), हाइपरबोलिक सेकेन्ट "sech" (/ˈʃɛk/ या /ˈsɛ/),[4] तथा हाइपरबोलिक कोटैन्जेन्ट "coth" (/ˈkθ/ या /ˈkɒθ/),[5][6] व्युत्पन्न हुए हैं।

परिभाषा[संपादित करें]

sinh, cosh and tanh
csch, sech and coth
(a) cosh(x) is the average of ex and e−x
(b) sinh(x) is half the difference of ex and e−x

अतिपरवलयिक फलनों को कई तरह से पारिभाषित किया जाता है। एक विधि इनको इक्सपोनेन्शियल फलन के फलन के रूप में परिभाषित करती है-

  • Hyperbolic sine:
  • Hyperbolic cosine:
  • Hyperbolic tangent:
  • Hyperbolic cotangent:
  • Hyperbolic secant:
  • Hyperbolic cosecant:

हाइपरबोलिक फलनों को अवकल समीकरणों के हल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन निम्नलिखित तन्त्र के अनन्य हल (s, c) हैं-

such that s(0) = 0 and c(0) = 1.

ये फलन निमनलिखित समीकरण के अन्न्य हल भी हैं- such that for the hyperbolic cosine, and for the hyperbolic sine.

Hyperbolic functions may also be deduced from trigonometric functions with complex arguments:

  • Hyperbolic sine:
  • Hyperbolic cosine:
  • Hyperbolic tangent:
  • Hyperbolic cotangent:
  • Hyperbolic secant:
  • Hyperbolic cosecant:

where i is the imaginary unit with the property that

The complex forms in the definitions above derive from Euler's formula.

सन्दर्भ[संपादित करें]

  1. (1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN 0 00 472257 4, p. 1386
  2. Collins Concise Dictionary, p. 328
  3. Collins Concise Dictionary, p. 1520
  4. Collins Concise Dictionary, p. 1340
  5. Collins Concise Dictionary, p. 329
  6. tanh