अतिपरवलयिक फलन

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A ray through the unit hyperbola in the point , where is twice the area between the ray, the hyperbola, and the -axis. For points on the hyperbola below the -axis, the area is considered negative (see animated version with comparison with the trigonometric (circular) functions).

गणित में, अतिपरवलयिक फलन (hyperbolic functions) ऐसे फलन हैं जो सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों से मिलते-जुलते किन्तु अलग फलन हैं।

हाइपरबोलिक साइन "sinh" (/ˈsɪn/ या /ˈʃn/),[1] और हाइपरबोलिक कोसाइन "cosh" (/ˈkɒʃ/),[2] मूलभूत अतिपरवलयिक फलन हैं। इनसे हाइपरबोलिक टैन्जेन्ट "tanh" (/ˈtæn/ या /ˈθæn/),[3] हाइपरबोलिक कोसेकेन्ट "csch" या "cosech" (/ˈkʃɛk/[2] या /ˈksɛ/), हाइपरबोलिक सेकेन्ट "sech" (/ˈʃɛk/ या /ˈsɛ/),[4] तथा हाइपरबोलिक कोटैन्जेन्ट "coth" (/ˈkθ/ या /ˈkɒθ/),[5][6] व्युत्पन्न हुए हैं।

परिभाषा[संपादित करें]

sinh, cosh and tanh
csch, sech and coth
(a) cosh(x) is the average of ex and e−x
(b) sinh(x) is half the difference of ex and e−x

अतिपरवलयिक फलनों को कई तरह से पारिभाषित किया जाता है। एक विधि इनको इक्सपोनेन्शियल फलन के फलन के रूप में परिभाषित करती है-

  • Hyperbolic sine:
  • Hyperbolic cosine:
  • Hyperbolic tangent:
  • Hyperbolic cotangent:
  • Hyperbolic secant:
  • Hyperbolic cosecant:

हाइपरबोलिक फलनों को अवकल समीकरणों के हल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन निम्नलिखित तन्त्र के अनन्य हल (s, c) हैं-

such that s(0) = 0 and c(0) = 1.

ये फलन निमनलिखित समीकरण के अन्न्य हल भी हैं- such that for the hyperbolic cosine, and for the hyperbolic sine.

Hyperbolic functions may also be deduced from trigonometric functions with complex arguments:

  • Hyperbolic sine:
  • Hyperbolic cosine:
  • Hyperbolic tangent:
  • Hyperbolic cotangent:
  • Hyperbolic secant:
  • Hyperbolic cosecant:

where i is the imaginary unit with the property that

The complex forms in the definitions above derive from Euler's formula.

सन्दर्भ[संपादित करें]

  1. (1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN 0 00 472257 4, p. 1386
  2. Collins Concise Dictionary, p. 328
  3. Collins Concise Dictionary, p. 1520
  4. Collins Concise Dictionary, p. 1340
  5. Collins Concise Dictionary, p. 329
  6. "tanh" (PDF). मूल से 31 अक्तूबर 2017 को पुरालेखित (PDF). अभिगमन तिथि 14 अक्तूबर 2017.