हरात्मक संख्या

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हरात्मक संख्या H_{n,1} जहाँ n=\lfloor{x}\rfloor (लाल रेखा) अपनी उपगामी सीमा \gamma+\ln[x] (नीली रेखा) के साथ।

गणित में, nवीं हरात्मक संख्या प्रथम n प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रम का संकलन है। सामान्यतः इसे Hn से प्रदर्शित करते हैं:

H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.

यह इन प्राकृत संख्याओं के हरात्मक माध्य के व्युत्क्रम का n गुणा भी होता है।

हरात्मक संख्याओं में अंतर्निहित तत्समक[संपादित करें]

परिभाषानुसार हरात्मक संख्याएं पुनरावृत्ति सम्बंध को सन्तुष्ट करते हैं:

H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n}.

वे निम्न तत्समक को भी सन्तुष्ट करते हैं

\sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_n - n.

गणना[संपादित करें]

ऑयलर द्वारा प्रतिपादित समाकल निरूपण

 H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx.

यह सरल बीजगणितीय तत्समकता का परिणाम है

\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}.

सरल समाकल सूत्र x = 1−u,Hn के लिए चारु संचयात्मक वाक्यांश निम्न है

\begin{align}
H_n &= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx \\
&=-\int_1^0\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\
&= \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\
&= \int_0^1\left[\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom nk u^{k-1}\right]\,du \\
&= \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom nk \int_0^1u^{k-1}\,du \\
&= \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom nk .
\end{align}

रेट्केस तत्समकता में x_1=1,\ldots,x_n=n लिखने और \Pi_k(1,\ldots,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)! का उपयोग करने पर हमें निम्न निरूपण प्राप्त होता है H_n=H_{n,1}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=(-1)^{n-1}n!\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2\Pi_k(1,\ldots,n)}=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom nk.

ये भी देखें[संपादित करें]

बाहरी कड़ियाँ[संपादित करें]

सन्दर्भ[संपादित करें]