प्रत्यावर्ती श्रेणी

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गणित में प्रत्यावर्ती श्रेणी निम्न प्रकार की अनन्त श्रेणी है:

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n or \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\,a_n

जहाँ  n के सभी मानों के लिए an > 0 है। एक व्यापक पद का चिह्नप्रत्यावर्ती रूप से धनात्मक और ऋणात्मक होता है।

प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण[संपादित करें]

"लियबनिज़ परीक्षण" अथवा प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण के रूप में ज्ञात प्रमेय के अनुसार श्रेणी अभिसरीत होगी यदि और केवल यदि पद an एकदिष्टतः शून्य की ओर अग्रसर हो।

उपपत्ति: माना कि अनुक्रम a_n शून्य की ओर अग्रसर है तथा यह एकदिष्टतः ह्रसमान है। यदि m विषम है और m<n, तब हम S_m - S_n < a_{m} निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं:


\begin{align}
S_m - S_n & =
\sum_{k=0}^m(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^n\,(-1)^k\,a_k\ = \sum_{k=m+1}^n\,(-1)^k\,a_k  \\
& =a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots+a_n\\
& =\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3}) - (a_{m+4}-a_{m+5}) -\cdots-a_n \le a_{m+1}\le a_{m}.
\end{align}

चूँकि a_n एकदिष्टतः ह्रसमान है अतः पद -(a_m - a_{m+1}) ऋणात्मक है। अतः अन्त में हमें S_m - S_n \le a_{m} असमता प्राप्त होती है। इसी प्रकार यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि -a_{m}\le S_m - S_n है। चूँकि a_{m} शुन्य (0) की ओर अग्रसर है, कॉशी समीकरण के अनुसार आंशिक संकलन S_m प्राप्त होता है अर्थात श्रेणी अभिसरित होती है।

सन्दर्भ[संपादित करें]