पद परीक्षण

कलन
मूलभूत प्रमेय फलन की सीमा निरंतरता माध्यमान प्रमेय रॉल प्रमेय
अंतर कलन अवकलज Change of variables Implicit differentiation टेलर प्रमेय Related rates अवकलजों की सूची घात नियम गुणन का नियम भाग का नियम शृंखला नियम
समाकलन समाकल समाकल सूची अनंत समाकल समाकलन भागों से चक्र cylindrical shells प्रतिस्थापन से त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन आंशिक भिन्न changing order
सदिश कलन प्रवणता डाइवर्जेन्स (अपसरण) कर्ल लाप्लास संकारक प्रवणता प्रमेय ग्रीन प्रमेय स्टॉक प्रमेय अपसरण प्रमेय
बहुचर कलन मेट्रिक्स कलन आंशिक अवकलज गुणित समाकल रेखा समाकलन पृष्ठ समाकल आयतन समाकल जेकोबियन

गणित में, अभिसरण के लिए nवें-पद का परीक्षण अनन्त श्रेणी के अभिसरण के लिए सरलतम परीक्षण है।:

• यदि $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ अथवा यदि सीमान्त मान उपलब्ध नहीं है तो $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ अभिसारी है।

अधिकतर लेखक इसे परीक्षण का नाम नहीं देते और केवल लघु नाम देते हैं।

उपयोग

कठीन अभिसरण परीक्षण से भिन्न, पद परीक्षण यह सिद्ध नहीं कर सकता कि श्रेणी अभिसारी है। विशेष रूप से, परीक्षण से अभिसारी कहना असत्य है और इसके स्थान पर निम्नलिखित रूप को काम में लिया जा सकता है:

• यदि $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$ तब $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ अभिसारी हो भी सकती है अथवा नहीं भी। अन्य शब्दों में, यदि $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$ होने पर परीक्षण अनिर्णित रहता है।

हरात्मक श्रेणी अपसारी श्रेणी का एक चिरसम्मत उदाहरण है जिसके पद परीक्षण शून्य की ओर अग्रसर है। p-श्रेणी का अधिक व्यापक रूप,

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},$

परीक्षण के सम्भावित परिणामों का उदाहरण है:

• यदि p ≤ 0, श्रेणी को अपसारी परिभाषित करता है।
• यदि 0 < p ≤ 1, तब पद परीक्षण अनिर्णित रहता है लेकिन श्रेणी अभिसरण के पूर्णांकीय परीक्षण द्वारा अपसारी प्राप्त होती है।
• यदि 1 < p, तब पद परीक्षण अनिर्णित रहता है लेकिन श्रेणी पुनः अभिसरण के पूर्णांकीय परीक्षण द्वारा अभिसारी प्राप्त होती है।

उपपत्ति

परीक्षण को आम तौर पर प्रतिपरिवर्तित रूप में सिद्ध किया जाता है:

• यदि $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ अभिसारी है तो $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ होगा।

सीमा जोड़-तोड़

यदि s_n श्रेणी के आंशिक संकलन हैं तो श्रेणी किसी संख्या s पर अभिसारी होगी यदि

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=s$

तब

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=s-s=0.$

कौशी कसौटी

अभिगृहीत के अनुसार श्रेणी अभिसारी होगी यदि यह कौशी अभिसरण परीक्षण में सफल हो: प्रत्येक $\varepsilon >0$ के लिए एक संख्या N इस प्रकार होगी कि

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon$

जो सभी n > N और p ≥ 1 के लिए सही है। p = 1 रखने पर कथन की पुष्टि होती है।

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.$

प्रसार

पद परीक्षण का सरलतम संस्करण वास्तविक संख्याओं की अनन्त श्रेणियों पर लागू होता है। उपरोक्त दो उपपत्तियाँ अन्य मानकित सदिश समष्टि में भी कार्य करता है।

सन्दर्भ

• Brabenec, Robert (2005). Resources for the study of real analysis. MAA. ISBN 0883857375.
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. ISBN 9812565639.
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003). Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. ISBN 0821820508.
• Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (3e संस्करण). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e संस्करण). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
• Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Functional Analysis. Springer. ISBN 1402016166.