निरपेक्ष मान

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वास्तविक संख्याओं के लिये निरपेक्ष मान फलन का ग्राफ

गणित में किसी वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान या 'निरपेक्ष मूल्य' (absolute value) या 'मापांक' (modulus) |a| उस संख्या के चिह्न के बिना उसके आंकिक मान के बराबर होता है। उदाहरण के लिये 3 का निरपेक्ष मान 3 है, तथा -3 का भी निरपेक्ष मान भी 3 ही है। किसी संख्या के निरपेक्ष मान को उस संख्या की शून्य से दूरी के बराबर समझा जा सकता है।

उदाहरण
  • |5| = abs(5) = 5
  • |-2| = abs(-2) = 2

वास्तविक संख्याओं के लिये निरपेक्ष मान की उपर दी गयी परिभाषा को कई अन्य गणितीय क्षेत्रों में सामान्यीकरण (Generalization) किया गया है। उदाहरण के लिये समिश्र संख्याओं के लिये भी निरपेक्ष मान परिभाषित किया जाता है। इसके अलावा quaternions, ordered rings, fields और सदिश अवकाश (vector spaces) के लिये भी निरपेक्ष मान परिभाषित किया जाता है।

वास्तविक संख्याओं का निरपेक्ष मान[संपादित करें]

वास्तविक संख्या a का निरपेक्ष मान | a | (राशि के दोनो ओर उर्ध्व रेखा द्वारा) निरूपित किया जाता है। तथा इसकी परिभाषा निम्नलिखित प्रकार से की जाती है-

|a| = \begin{cases} a, & \mbox{if }  a \ge 0  \\ -a, & \mbox{if } a < 0. \end{cases}

इस परिभाषा से स्पष्ट है कि किसी भी राशि का निरपेक्ष मान या तो धनात्मक होगा या शून्य होगा ; यह ऋणात्मक कभी भी नहीं हो सकता।

चूँकि बिना चिह्न के वर्गमूल का संकेत उस राशि के धनात्मक वर्गमूल को इंगित करता है; इसका अर्थ हुआ कि-

|a| = \sqrt{a^2} (1)

यही कभी-कभी निरपेक्ष मान की परिभाषा के तौर पर इस्तेमाल किया जाता है।[1]

निरपेक्ष मान के निम्नलिखित चार मूलभूत गुण होते हैं-

|a| \ge 0 (2) Non-negativity
|a| = 0 \iff a = 0 (3) Positive-definiteness
|ab| = |a||b|\, (4) Multiplicativeness
|a+b|  \le |a| + |b|  (5) Subadditivity

निरपेक्ष मान के अन्य महत्वपूर्णण गुण निम्नलिखित हैं-

|-a| = |a|\, (6) Symmetry
|a - b| = 0 \iff a = b (7) Identity of indiscernibles (equivalent to positive-definiteness)
|a - b|  \le |a - c| + |c - b|  (8) Triangle inequality (equivalent to subadditivity)
|a/b| = |a| / |b| \mbox{ (if } b \ne 0) \, (9) Preservation of division (equivalent to multiplicativeness)
|a-b| \ge ||a| - |b|| (10) (equivalent to subadditivity)

यदि b > 0, तो असमताओं (inequalities) से सम्बन्धित दो अन्य उपयोगी गुण ये हैं-

|a| \le b \iff -b \le a \le b
|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ or } b \le a

उपरोक्य सम्बन्धों का प्रयोग उन असमताओं का हल निकालने के लिये किया जा सकता है जिनमें निरपेक्ष मान का प्रयोग हुआ हो। उदाहरण के लिये,

|x-3| \le 9 \iff -9 \le x-3 \le 9
\iff -6 \le x \le 12

समिश्र संख्याओं का निरपेक्ष मान[संपादित करें]

किसी समिश्र संख्या z का निरपेक्ष मान मूलबिन्दु (origin) से z की दूरी r के बराबर होती है। चित्र से यह भी स्पष्त है कि z और उसके समिश्र युग्म (complex conjugate) z दोनो का निरपेक्ष मान एकसमान होता है।

किसी समिश्र संख्या,

z = x + iy,\,

जहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ हैं, z का मापांक |z| द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। इसको निम्नलिखित प्रकार से पारिभाषित करते हैं-

|z| =  \sqrt{x^2 + y^2}.

समिश्र संख्या के मापांक में उपर वर्णित वे सब गुण हैं जो वास्तविक संख्या के मापांक में हैं।

यदि,

 z = x + i y = r (\cos \phi + i \sin \phi) \,

हो और

\overline{z} = x - iy

z का समिश्र युग्म हो तो,

\begin{align} |z| & = r, \\ |z| & = |\overline{z}|\end{align}

तथा

|z| = \sqrt{z\overline{z}},


z के मापांक का वर्ग निम्नलिखित है-

|z|^2 = z\overline{z} = x^2 + y^2.

संदर्भ[संपादित करें]

  1. Stewart, James B. (2001). Calculus: concepts and contexts. Australia: Brooks/Cole. आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 0-534-37718-1. , p. A5

बाहरी कड़ियाँ[संपादित करें]