उल्लेखनीय सर्वसमिकाएँ

यहाँ कुछ प्रमुख गुणनफल दिये गये हैं जिनके प्रयोग से गुणनखण्ड एवं अन्य कार्यों में बहुत सुविधा होती है।

उभयनिष्ट गुणक (common factor)

उभयनिष्ट गुणक का चित्रात्मक निरूपण

$c (a + b) = c a + c b \,$

उदाहरण

$3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,$

द्विपद का वर्ग

द्विपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

त्रिपदी व्यंजक : $a^2 + 2 a b + b^2 \;$ , पूर्ण वर्ग त्रिपद कहलाता है।

इसी प्रकार,

$(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,$

उदाहरण

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,$

सरल करने पर:

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,$

दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो

चित्रात्मक निरूपण

$(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,$

उदाहरण

$(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) \,$

पदों को एकत्र करने पर:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,$

या:

$(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,$

दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)

'द्विपद युग्म' का गुणनफल

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,$

उदाहरण

$(3x+5y)(3x-5y) = \,$

$(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,$

पदों को एकत्र करने पर:

$(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,$

बहुपद का वर्ग

एक त्रिपद के वर्ग का चित्रात्मक निरूपण

$(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,$

$(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,$

उदाहरण

$(3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,$

गुणा करने पर:

$(3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,$

$+ 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,$

$+ (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,$

पदों को एकत्र करने के बाद:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,$

या:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,$

द्विपद का घन

द्विपद के घन का आयतनों के योग के रूप में चित्रण

$(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,$

काशी (Cauchy) सर्वसमिका:

$(a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \,$

उदाहरण

$(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,$

पदों का समूह बनाने के बाद:

$(x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \,$

इसी प्रकार,

$(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,$

काशी (Cauchy) सर्वसमिका:

$(a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) \,$

उदाहरण

$(x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 \,$

पदों का समूह बनाने के बाद:

$(x-2y)^3 = x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 \,$

आर्गण्ड सर्वसमिका (Argand Identity)

$(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1 \,$

गाउस (Gauss) की सर्वसमिका

$a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \,$

$a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2} (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2] \,$

लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका

$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) \,$

$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab \,$

$(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2) \,$

लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका

$(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2 \,$

$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2 \,$

अन्यान्य सर्वसमिकाएँ

घनों का योग

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \,$

घनों का अन्तर

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \,$

nवें घातों का योग

यदि और केवल यदि "n" विषम संख्या हो तो , $a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 -\cdots + b^{n-1}) \,$

nवें घातों का अन्तर

$a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 +\cdots + b^{n-1}) \,$

निम्नलिखित सूत्र किसी घन को दो वर्गों के अन्तर के रूप में अभिव्यक्त करता है-

$a^3 = \left(\frac{(a+1)a}{2}\right)^2 - \left(\frac{(a-1)a}{2}\right)^2$

इन्हें भी देखें

• ब्रह्मगुप्त सर्वसमिका
• द्विपद
• त्रिपद
• गुणनखण्ड
• पॉस्कल त्रिभुज साँचा:Lien BA