आतानक विश्लेषण

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आतानक विश्लेषण (टेंसर ऐनालिसिस) का मुख्य उद्देश्य ऐसे नियमों की रचना और अध्ययन है, जो साधारणतया सहचर (कोवैरिऐंट) रहते हैं, अर्थात् यदि हम नियामकों की एक संहति से दूसरी में जाएं तो ए नियम ज्यों के त्यों बने रहते हैं। इसीलिए अवकल ज्यामिति के लिए यह विषय महत्वपूर्ण है।

इस विषय के पुराने विचारकों में गाउस, रीमान और क्रिस्टॉफ़ेल के नाम उल्लेखनीय हैं। किंतु इस विषय को व्यवस्थित रूप रिची और लेवी चिविता ने दिया। इन्होंने इस विषय का नाम बदलकर निरपेक्ष चलन कलन (ऐब्सोल्यूट डिफ़रेशियल कैल्कुलस) कर दिया। इस विषय का प्रयोग अनुप्रयक्त गणित की बहुत सी शाखाओं में होता है।अन्य उपयोगों के लिए, tensor (बहुविकल्पी) देखें. ध्यान दें कि आम उपयोग में, शब्द tensor भी एक tensor क्षेत्र का उल्लेख करने के लिए प्रयोग किया जाता है. यह भी देखें tensor सिद्धांत की शब्दावली.


तनाव tensor, एक दूसरे क्रम tensor. tensor घटकों, एक तीन आयामी कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, मैट्रिक्स फार्म: जिसका कॉलम (प्रति इकाई क्षेत्र बलों) तनाव E1, E2, और घन की e3 चेहरे पर अभिनय कर रहे हैं. Tensors Tensor सिद्धांत की शब्दावली स्कोप [शो] संकेतन [शो] Tensor परिभाषाओं शो [] संचालन [दिखाएँ] संबंधित चीजें [दिखाएँ] उल्लेखनीय tensors [दिखाएँ] गणितज्ञ [दिखाएँ] वी टी ई Tensors ज्यामितीय वस्तुओं है कि वैक्टर, scalars, और अन्य tensors बीच रैखिक संबंध का वर्णन कर रहे हैं. ऐसे संबंधों के प्राथमिक उदाहरण डॉट उत्पाद, उत्पाद के पार, और रैखिक नक्शे शामिल हैं. वैक्टर और scalars खुद भी tensors हैं. एक tensor संख्यात्मक मूल्यों के एक बहु - आयामी सरणी के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है. एक tensor के आदेश (भी डिग्री या रैंक) सरणी के dimensionality यह प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक है, या equivalently, कि सरणी के एक घटक लेबल की जरूरत सूचकांक की संख्या. उदाहरण के लिए, एक रेखीय नक्शा एक मैट्रिक्स, एक 2 आयामी सरणी, और इसलिए एक tensor 2 के आदेश द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है. वेक्टर एक 1-आयामी सरणी के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है और एक tensor 1 क्रम है. Scalars एकल संख्या रहे हैं और इस तरह कर रहे हैं 0 - क्रम tensors.

Tensors ज्यामितीय वैक्टर के सेट के बीच correspondences का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है. उदाहरण के लिए, तनाव tensor टी निवेश के रूप में एक दिशा v लेता है और आउटपुट के रूप में इस वेक्टर सामान्य सतह पर तनाव टी (v) का उत्पादन और इसलिए इन दो वैक्टर के बीच एक रिश्ता व्यक्त. क्योंकि वे वैक्टर के बीच एक संबंध व्यक्त tensors समन्वय प्रणाली की एक विशेष चुनाव की खुद को स्वतंत्र होना चाहिए. एक समन्वय आधार या संदर्भ के फ्रेम ले रहा है और यह परिणाम के लिए एक संगठित बहुआयामी सरणी में उस आधार में tensor का प्रतिनिधित्व tensor लगाने, या के रूप में यह संदर्भ की है कि फ्रेम से लग रहा है. एक tensor के समन्वय स्वतंत्रता तो एक "covariant" परिवर्तन कानून है कि एक समन्वय प्रणाली में एक दूसरे में गणना की गणना सरणी से संबंधित के रूप लेता है. यह परिवर्तन कानून में एक tensor एक ज्यामितीय या शारीरिक सेटिंग में की धारणा के लिए बनाया जा माना जाता है, और परिवर्तन कानून की सटीक रूप tensor के प्रकार (या valence) निर्धारित करता है.

Tensors भौतिकी में महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे तैयार करने और लोच, द्रव यांत्रिकी, और सामान्य सापेक्षता के रूप में ऐसे क्षेत्रों में भौतिक विज्ञान की समस्याओं को सुलझाने के लिए एक संक्षिप्त गणितीय रूपरेखा प्रदान करते हैं. Tensors 1 Tullio लेवी के Civita और Ricci - Curbastro ग्रेगोरियो, जो निरपेक्ष अंतर कलन के भाग के रूप में Bernhard Riemann और एल्विन ब्रूनो Christoffel और दूसरों के पहले काम जारी रखा द्वारा कल्पना की थी. अवधारणा Riemann वक्रता आतानक के रूप में कई गुना की आंतरिक अंतर ज्यामिति के वैकल्पिक सूत्रीकरण सक्षम

Tensors को परिभाषित करने के लिए कई दृष्टिकोण हैं. अलग प्रतीत होता है हालांकि, दृष्टिकोण सिर्फ एक ही ज्यामितीय अलग अलग भाषाओं का उपयोग और अमूर्त के विभिन्न स्तरों पर अवधारणा का बहुआयामी arrays के रूप में बस के रूप में एक ही नंबर से एक अदिश में वर्णित है, और एक के आधार पर दिए गए सम्मान के साथ एक सदिश एक सरणी द्वारा वर्णित है, एक के आधार पर सम्मान के साथ किसी भी tensor एक बहुआयामी सरणी द्वारा वर्णित है. सरणी में संख्या tensor के अदिश घटकों या बस इसके घटकों के रूप में जाना जाता है. वे सरणी में अपनी स्थिति को दे रही है, सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट में tensor का सांकेतिक नाम के बाद, सूचकांक द्वारा चिह्नित हैं. विशिष्ट प्रत्येक घटक निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक सूचकांक की कुल संख्या सरणी के आयाम के बराबर है, और है आदेश या tensor के रैंक कहा जाता है उदाहरण के लिए [2] ध्यान दें, एक क्रम 2 tensor टी की प्रविष्टियों निरूपित किया जाता है किया जाएगा. Tij, जहां मैं और जम्मू 1 से संबंधित वेक्टर अंतरिक्ष के आयाम चल इंडेक्स नोट [3] हैं.

बस एक वेक्टर परिवर्तन जब हम वेक्टर अंतरिक्ष के आधार बदलने के घटकों की तरह, एक tensor की प्रविष्टियों को भी इस तरह के एक परिवर्तन के तहत बदल जाते हैं. प्रत्येक tensor एक परिवर्तन कानून है कि विवरण tensor के घटकों के आधार के एक परिवर्तन कैसे प्रतिक्रिया के साथ सुसज्जित आता है. एक सदिश के घटकों के आधार के एक परिवर्तन (सहप्रसरण और वैक्टर के contravariance देखें) है, जहां नया आधार वैक्टर के रूप में पुराने आधार वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त कर रहे हैं के लिए दो अलग - अलग तरीकों में जवाब कर सकते हैं,


जहां री j एक मैट्रिक्स है और दूसरी अभिव्यक्ति में समेशन हस्ताक्षर (एक notational आइंस्टीन द्वारा शुरू की सुविधा है कि इस आलेख के दौरान इस्तेमाल किया जाएगा) दबा दिया गया था. घटकों, एक नियमित रूप से (या स्तंभ) वेक्टर, v की छठी, मैट्रिक्स आर के व्युत्क्रम साथ बदलना,


टोपी नया आधार में जहां घटकों अर्थ. जबकि घटकों, एक covector या (पंक्ति वेक्टर) के वाई, w मैट्रिक्स आर के साथ ही बदलने,


एक tensor के घटक प्रत्येक सूचकांक के लिए एक परिवर्तन मैट्रिक्स के साथ एक समान तरीके से बदलना. यदि एक सूचकांक आधार परिवर्तन के व्युत्क्रम के साथ एक सदिश की तरह बदल देती है, यह contravariant कहा जाता है और पारंपरिक रूप से एक ऊपरी सूचकांक के साथ चिह्नित है, जबकि एक सूचकांक है कि आधार परिवर्तन के साथ ही बदल covariant कहा जाता है और एक कम सूचकांक के साथ चिह्नित. n contravariant सूचकांक और मीटर n covariant इंडेक्स के साथ एक tensor आदेश मीटर के लिए परिवर्तन कानून इस प्रकार के रूप में दिया जाता है,


इस तरह के एक tensor आदेश या प्रकार (n, m n) का होना कहा जाता है. [4] इस चर्चा निम्नलिखित औपचारिक परिभाषा प्रेरित: [9]

परिभाषा. प्रकार का एक tensor (n, m n) एक बहुआयामी सरणी के एक काम है

प्रत्येक आधार च = (e1, ..., एन) ऐसे कि, अगर हम आधार के परिवर्तन लागू

तो बहुआयामी सरणी परिवर्तन कानून का पालन

एक बहुआयामी सरणी के रूप में एक परिवर्तन कानून निशान संतोषजनक Ricci का काम करने के लिए वापस एक tensor की परिभाषा [1]. आजकल, इस परिभाषा अभी भी कुछ भौतिक विज्ञान और इंजीनियरिंग पाठ्य पुस्तकों में प्रयोग किया जाता है. [10] [11]

Tensor फील्ड्स

मुख्य लेख: Tensor क्षेत्र कई अनुप्रयोगों में, अंतर ज्यामिति और भौतिकी में विशेष रूप से, यह जो कार्य कर रहे हैं घटकों के साथ एक tensor पर विचार स्वाभाविक है. यह था, वास्तव में, Ricci मूल काम के सेटिंग. आधुनिक गणितीय शब्दावली में एक ऐसी वस्तु एक tensor क्षेत्र कहा जाता है, लेकिन वे अक्सर बस खुद tensors के रूप में भेजा है [1].

इस संदर्भ में निर्णायक परिवर्तन कानून एक अलग रूप ले लेता है. Tensor क्षेत्र के लिए "आधार" अंतर्निहित अंतरिक्ष के निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाता है, और कानून को परिभाषित परिवर्तन समन्वय कार्यों का आंशिक डेरिवेटिव, एक समन्वय परिवर्तन को परिभाषित, [1] के रूप में व्यक्त किया जाता है


multilinear नक्शे के रूप में

एक बहुआयामी सरणी दृष्टिकोण का उपयोग tensor की परिभाषा के लिए एक नकारात्मक पक्ष यह है कि यह परिभाषा से स्पष्ट है कि वास्तव में परिभाषित वस्तु आधार स्वतंत्र नहीं है, के रूप में एक आंतरिक ज्यामितीय वस्तु से उम्मीद है. हालांकि यह संभव है दिखाने के लिए कि वास्तव में परिवर्तन कानूनों आधार से स्वतंत्रता सुनिश्चित करने के लिए, कभी कभी एक और अधिक आंतरिक परिभाषा पसंद है. एक दृष्टिकोण के लिए एक multilinear नक्शे के रूप में एक tensor को परिभाषित करने के लिए है. उस दृष्टिकोण में एक प्रकार (n, m) tensor टी नक्शे के रूप में परिभाषित किया गया है,


जहां वी एक वेक्टर अंतरिक्ष और वी * covectors की इसी दोहरी अंतरिक्ष, जो अपने तर्कों के प्रत्येक में रैखिक है.

V के लिए एक {ej} आधार और वी * के लिए एक विहित cobasis {εi} प्रकार की एक multilinear नक्शा टी (n, m) लागू करके,


एक n + मीटर घटकों के आयामी सरणी प्राप्त किया जा सकता है. आधार की एक अलग विकल्प विभिन्न घटकों निकलेगा. लेकिन, क्योंकि टी अपने तर्कों के सभी में रैखिक है, घटकों tensor परिवर्तन multilinear सरणी परिभाषा में इस्तेमाल कानून को संतुष्ट. टी के घटकों के बहुआयामी सरणी इस प्रकार कि परिभाषा के अनुसार एक tensor के रूप में. इसके अलावा, इस तरह के एक सरणी कुछ multilinear नक्शा टी. के घटक के रूप में महसूस किया जा सकता है यह आंतरिक tensors अंतर्निहित वस्तुओं के रूप में multilinear नक्शे को देखने प्रेरित.

tensor उत्पादों का उपयोग मुख्य लेख: Tensor (आंतरिक परिभाषा) कुछ गणितीय अनुप्रयोगों के लिए, एक अधिक अमूर्त दृष्टिकोण कभी कभी उपयोगी है. यह सदिश रिक्त स्थान है, जो बारी में एक सार्वभौमिक संपत्ति के माध्यम से परिभाषित कर रहे हैं की tensor उत्पादों के तत्वों के संदर्भ में tensors को परिभाषित करने के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है. एक प्रकार (n, m) tensor इस संदर्भ में सदिश रिक्त स्थान tensor उत्पाद के एक तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है, [12]


यदि vi वी और wj डब्ल्यू के एक आधार है एक आधार है, तो tensor उत्पाद एक प्राकृतिक आधार है. घटकों एक tensor टी के वी और अपनी दोहरी {εj} आधार के लिए एक आधार {ईआइ} से प्राप्त करने के लिए सम्मान के साथ tensor के गुणांकों हैं यानी,


Tensor उत्पाद के गुणों का उपयोग करना है, यह दिखाया गया है कि इन घटकों प्रकार (मी, n) tensor के लिए परिवर्तन कानून को संतुष्ट कर सकते हैं. इसके अलावा, tensor उत्पाद के सार्वभौमिक संपत्ति इस तरह और multilinear नक्शे के रूप में परिभाषित किया tensors में परिभाषित tensors के बीच एक पत्राचार 1-1 देता है.

उदाहरण

इस तालिका tensors वेक्टर manifolds और रिक्त स्थान Tensor फील्ड्स पर दोनों tensors सहित महत्वपूर्ण उदाहरण दिखाता है. tensors उनके प्रकार (n, m) के अनुसार वर्गीकृत कर रहे हैं. उदाहरण के लिए, एक द्विरेखीय प्रपत्र एक (0, 2) tensor के रूप में एक ही बात है, एक आंतरिक उत्पाद (0, 2) tensor का एक उदाहरण है, लेकिन (0, 2) नहीं tensors भीतरी उत्पादों रहे हैं. (0, एम) तालिका के प्रवेश में, एम अंतर्निहित वेक्टर अंतरिक्ष या कई गुना का आयाम अर्थ.

n, m n = 0 n = 1 n = 2 ... n = एन ... मीटर = 0 अदिश, उदा. अदिश वक्रता वेक्टर (जैसे दिशा वेक्टर) bivector, जैसे उलटा मीट्रिक आतानक N-वेक्टर, N - ब्लेड की राशि = 1 मीटर covector, रैखिक कार्यात्मक, एक रैखिक परिवर्तन फार्म, Kronecker डेल्टा m = 2 द्विरेखीय फार्म, जैसे आंतरिक उत्पाद, मीट्रिक आतानक, रिक्की वक्रता, 2-फार्म का, symplectic फार्म जैसे तीन उदा. आयाम में उत्पाद पार लोच tensor मीटर = 3 उदा. 3-फार्म का उदा. Riemann वक्रता आतानक ... एम एम = उदा. एम - फार्म यानी मात्रा फार्म ... इस के रूप में देखे जा तिरछे मेज पर और सही करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं, tensor - एक (n, m) tensor पर एक सूचकांक स्थापना (1 n + 1 मीटर) पैदा करता है. Symmetrically, एक सूचकांक कम तिरछे मेज पर नीचे और बाईं करने के लिए जाने के रूप में देखे जा सकते हैं. एक (n, m) tensor के एक कम सूचकांक के साथ एक ऊपरी का संकुचन एक (1, मी - एन 1) का उत्पादन tensor, इस तिरछे मेज पर ऊपर और बाईं करने के लिए आगे बढ़ के रूप में देखे जा सकते हैं.

संकेतन
Ricci पथरी

रिक्की पथरी आधुनिक और tensor इंडेक्स के लिए रीतिवाद अंकन है: आंतरिक और बाहरी उत्पादों, सहप्रसरण और contravariance, tensor घटकों, समरूपता और antisymmetry की summations, और आंशिक और covariant डेरिवेटिव का संकेत है.

आइंस्टीन समेशन सम्मेलन

आइंस्टीन समेशन सम्मेलन समेशन संकेत लेखन के साथ dispenses है, summation निहित छोड़ने. कोई दोहराया सूचकांक प्रतीक पर अभिव्यक्त किया है: अगर मैं सूचकांक एक tensor अभिव्यक्ति का एक दिया अवधि में दो बार किया जाता है, इसका मतलब है कि कार्यकाल के लिए मैं सभी के लिए अभिव्यक्त किया जा रहा है. सूचकांक के कई अलग जोड़े इस तरह अभिव्यक्त किया जा सकता है.

Penrose चित्रमय संकेतन Penrose चित्रमय संकेतन एक ढांचे के रूप में अंकन है जो आकार के साथ tensors, लाइनें और curves और उनके इंडेक्स के लिए प्रतीकों की जगह है. यह आधार तत्वों के स्वतंत्र है, और इंडेक्स के लिए कोई प्रतीकों की आवश्यकता है.

सार सूचकांक संकेतन सार सूचकांक संकेतन ऐसे tensors कि कोई इंडेक्स अब के रूप में संख्यात्मक लगा रहे हैं, बल्कि indeterminates रहे हैं लिखने के लिए एक रास्ता है. यह अंकन सूचकांक के expressiveness और सूचकांक मुक्त संकेतन के आधार स्वतंत्रता कब्जा.

संचालन

बुनियादी कार्यों कि tensors है कि फिर एक tensor उत्पादन पर आयोजित किया जा सकता है की एक संख्या हैं. tensor की रैखिक प्रकृति का तात्पर्य है कि साथ में एक ही प्रकार के दो tensors जोड़ा जा सकता है, और कहा कि tensors एक वेक्टर के स्केलिंग के अनुरूप परिणाम के साथ एक अदिश से गुणा किया जा सकता है. घटकों पर, इन आपरेशनों बस घटक के लिए घटक प्रदर्शन किया. इन आपरेशनों tensor के प्रकार बदल नहीं है, लेकिन वहाँ भी आपरेशनों कि tensors के प्रकार को बदलने के लिए मौजूद है.

tensor उत्पाद मुख्य लेख: Tensor उत्पाद tensor उत्पाद दो tensors, एस और टी लेता है, और एक नया tensor, एस ⊗ टी, आदेश जिसका मूल भी tensors आदेश के योग है. जब multilinear नक्शे के रूप में वर्णित है, tensor उत्पाद केवल दो tensors, यानी पलता


जो फिर से एक नक्शा है कि अपने सभी तर्क में रैखिक है पैदा करता है. घटकों पर प्रभाव इसी प्रकार दो इनपुट tensors, यानी की घटकों गुणा


यदि एस प्रकार है (कश्मीर, एल) और टी प्रकार (n, m) में से एक है, तो tensor उत्पाद प्रौद्योगिकी ⊗ प्रकार (कश्मीर n, एल एम +) है.

संकुचन मुख्य लेख: Tensor संकुचन Tensor संकुचन एक ऑपरेशन है कि दो से एक tensor के कुल ऑर्डर को कम कर देता है. ज्यादा ठीक है, यह एक प्रकार को कम कर देता है (n, m) एक प्रकार (n-1, m-1) tensor tensor. घटकों के संदर्भ में, आपरेशन एक contravariant और एक tensor के covariant सूचकांक संक्षेप द्वारा हासिल की है. उदाहरण के लिए, एक (1,1) tensor के माध्यम से एक अदिश अनुबंधित किया जा सकता है

. कहाँ समेशन फिर से निहित है. जब (1,1) tensor एक रेखीय नक्शे के रूप में व्याख्या की है, इस ऑपरेशन का पता लगाने के रूप में जाना जाता है.

संकुचन अक्सर tensor उत्पाद के साथ संयोजन के रूप में प्रयोग किया जाता है प्रत्येक tensor से एक सूचकांक अनुबंध.

संकुचन एक tensor की परिभाषा के मामले में भी अंतरिक्ष के साथ अंतरिक्ष * वी वी की प्रतियों की एक tensor उत्पाद के एक तत्व के रूप में समझ में आ 1 सरल tensors के एक रेखीय संयोजन में tensor decomposing द्वारा, हो सकता है और फिर एक कारक आवेदन वी * से उदाहरण के लिए वी. से एक कारक है, एक tensor


एक रेखीय संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है


पहली और आखिरी स्थान पर टी के संकुचन तो वेक्टर


स्थापना या कम एक सूचकांक मुख्य लेख: स्थापना और कम इंडेक्स जब एक वेक्टर अंतरिक्ष एक आंतरिक उत्पाद (या मीट्रिक के रूप में यह इस संदर्भ में अक्सर कहा जाता है) के साथ सुसज्जित है, वहाँ आपरेशनों कि एक covariant सूचकांक (कम) और इसके विपरीत में एक contravariant (ऊपरी) सूचकांक परिवर्तित मौजूद हैं. एक ही एक मीट्रिक (सममित) (0,2) tensor है, यह इस प्रकार एक tensor के एक ऊपरी सूचकांक एक मीट्रिक के निचले सूचकांक के साथ अनुबंध करने के लिए संभव है. यह पिछले के रूप में एक ही सूचकांक संरचना के साथ एक नया tensor का उत्पादन करता है, लेकिन अनुबंधित ऊपरी सूचकांक की स्थिति में कम सूचकांक के साथ. यह आपरेशन काफी graphically एक सूचकांक को कम करने के रूप में जाना जाता है.

इसके विपरीत, एक मीट्रिक एक उलटा है जो एक (2,0) tensor है. यह उलटा मीट्रिक एक कम करने के लिए एक ऊपरी सूचकांक उत्पादन सूचकांक के साथ अनुबंध किया जा सकता है. इस आपरेशन के एक सूचकांक बढ़ाने कहा जाता है.

अनुप्रयोग

[ सातत्य यांत्रिकी महत्वपूर्ण उदाहरण सातत्य यांत्रिकी द्वारा प्रदान की जाती हैं. एक ठोस शरीर या तरल पदार्थ के अंदर तनाव एक tensor द्वारा वर्णित हैं. तनाव tensor और तनाव tensor दोनों 2 क्रम tensors हैं, और एक चौथे क्रम लोच tensor द्वारा एक सामान्य रैखिक लोचदार सामग्री में संबंधित है. विस्तार में, एक तीन आयामी ठोस वस्तु में तनाव बढ़ाता tensor घटक है कि आसानी से एक 3 × 3 सरणी के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है. एक घन के आकार के ठोस अत्यल्प मात्रा खंड के तीन चेहरे कुछ दिया बल के लिए प्रत्येक विषय हैं. बल सदिश घटकों तीन की संख्या में भी कर रहे हैं. इस प्रकार, 3 × 3, या 9 घटकों इस घन के आकार infinitesimal खंड में तनाव का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं. इस ठोस की सीमा के भीतर तनाव मात्रा, 9 मात्रा का वर्णन करने के लिए आवश्यकता होती है एक अलग की एक पूरी जन है. इस प्रकार, एक दूसरा आदेश tensor की जरूरत है.

यदि सामग्री के अंदर एक विशेष सतह तत्व बाहर singled है, सतह के एक पक्ष पर सामग्री दूसरे पक्ष पर बल लागू होगी. सामान्य में, इस बल की सतह के लिए orthogonal नहीं हो, लेकिन यह तरीके एक रेखीय में सतह के उन्मुखीकरण पर निर्भर करेगा. इस प्रकार (2,0) के एक tensor द्वारा वर्णित है, रैखिक लोच में, या अधिक सटीक प्रकार की एक tensor क्षेत्र (2,0), के बाद से तनाव बिंदु से बात करने के लिए भिन्न हो सकते हैं.

भौतिकी से अन्य उदाहरण

आम अनुप्रयोगों में शामिल

विद्युत चुंबकत्व में विद्युतचुंबकीय tensor (या फैराडे tensor) सातत्य यांत्रिकी में तनाव के लिए विरूपणों और तनाव tensor का वर्णन करने के लिए सीमित विरूपण tensors Permittivity और बिजली संवेदनशीलता anisotropic मीडिया में tensors सामान्य सापेक्षता, (जैसे तनाव ऊर्जा tensor) में चार tensors गति अपशिष्टों का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस्तेमाल किया गोलाकार tensor ऑपरेटरों गोलाकार निर्देशांक में क्वांटम कोणीय गति ऑपरेटर के eigenfunctions प्रसार tensors, प्रसार tensor इमेजिंग के आधार, जीवविज्ञान वातावरण में प्रसार की दर का प्रतिनिधित्व करते हैं क्वांटम मैकेनिक्स और क्वांटम कम्प्यूटिंग क्वांटम राज्यों के संयोजन के लिए tensor उत्पादों का उपयोग आदेश के tensors के आवेदन 2> दो आदेश की एक tensor की अवधारणा अक्सर एक मैट्रिक्स के साथ conflated है. उच्च क्रम के tensors लेकिन विज्ञान और इंजीनियरिंग के क्षेत्र में महत्वपूर्ण विचारों पर कब्जा करते हैं, के रूप में कई क्षेत्रों में किया गया है क्रमिक दिखाया के रूप में वे विकसित. यह होता है, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर दृष्टि के क्षेत्र में trifocal मौलिक मैट्रिक्स सामान्यीकरण tensor के साथ.

nonlinear प्रकाशिकी के क्षेत्र में अत्यधिक बिजली क्षेत्रों के तहत सामग्री ध्रुवीकरण घनत्व परिवर्तन अध्ययन करता है. ध्रुवीकरण उत्पन्न तरंगों को पैदा nonlinear संवेदनशीलता tensor के माध्यम से बिजली के क्षेत्रों से संबंधित हैं. यदि ध्रुवीकरण पी linearly बिजली के क्षेत्र में ई के लिए आनुपातिक नहीं है, मध्यम nonlinear कहा जाता है. एक अच्छा सन्निकटन (पर्याप्त कमजोर क्षेत्रों के लिए, संभालने कोई स्थायी द्विध्रुवीय क्षण मौजूद हैं), पी ई में एक टेलर की श्रृंखला coefficients हैं जिनके nonlinear भावनाएँ हैं के द्वारा दिया जाता है:


के यहाँ रैखिक संवेदनशीलता है, Pockels प्रभाव और 2 हार्मोनिक पीढ़ी देता है, और Kerr प्रभाव देता है. इस विस्तार जिस तरह से उच्च आदेश tensors विषय में स्वाभाविक रूप से उठता से पता चलता है.

Generalizations

अनंत आयामों में tensors अनंत आयाम के लिए तरीके की एक किस्म में एक tensor की धारणा सामान्यीकरण नहीं किया जा सकता है. एक, उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट रिक्त स्थान की tensor उत्पाद के माध्यम से होता है. [13] की tensor, nonlinear विश्लेषण में आम विचार सामान्यीकरण का एक अन्य तरीका, multilinear परिभाषा नक्शे के माध्यम से जहां परिमित आयामी सदिश रिक्त स्थान और उनके बीजीय duals का उपयोग करने के बजाय, एक अनंत आयामी Banach रिक्त स्थान और उनके सतत दोहरी का उपयोग करता है. [14] tensors इस प्रकार Banach manifolds पर स्वाभाविक रूप से रहते हैं. [15]

Tensor घनत्व मुख्य लेख: Tensor घनत्व यह भी एक tensor एक "घनत्व" क्षेत्र के लिए संभव है. घनत्व आर के साथ एक tensor समन्वय परिवर्तनों के तहत एक साधारण tensor के रूप में बदल देती है, सिवाय इसके कि यह भी Jacobian की rth शक्ति निर्धारक से गुणा किया जाता है [16] invariantly multilinear बीजगणित की भाषा में, एक tensor घनत्व के रूप में बारे में सोच सकते हैं. तो multilinear n रूपों (एक आयामी) अंतरिक्ष (जहाँ n अंतरिक्ष के आयाम है) के रूप में एक घनत्व बंडल में उनके मूल्यों को ले रही है, बस के रूप में आर उच्च "वजन" में उनके मान लेने के लिए विरोध नक्शे बस अनुरूप श्रृंखला में इस स्थान के साथ अतिरिक्त tensor उत्पाद लेने के लिए.

सदिश बंडलों की भाषा में, स्पर्शरेखा बंडल के निर्धारक बंडल एक लाइन बंडल है कि 'मोड़' अन्य r बार बंडलों के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है. जबकि स्थानीय स्तर पर अधिक सामान्य परिवर्तन कानून वास्तव में इन tensors पहचान करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, वहाँ एक वैश्विक सवाल उठता है कि, को दर्शाती है कि परिवर्तन कानून में एक या तो Jacobian निर्धारक, या अपने निरपेक्ष मूल्य लिख सकते है. (सकारात्मक) घनत्व के बंडल के संक्रमण के कार्यों की गैर अभिन्न शक्तियों मतलब है, इतना है कि एक घनत्व के वजन, उस अर्थ में, पूर्णांक मान के लिए ही सीमित नहीं है.

सकारात्मक Jacobian निर्धारक साथ निर्देशांक के परिवर्तन करने के लिए सीमित orientable manifolds पर संभव है, क्योंकि वहाँ एक सुसंगत वैश्विक ऋण संकेत को खत्म करने का तरीका है, लेकिन अन्यथा घनत्व और n रूपों की लाइन बंडल की लाइन बंडल अलग कर रहे हैं. आंतरिक अर्थ के बारे में अधिक जानकारी के लिए, कई गुना पर घनत्व देखें.)

Spinors मुख्य लेख: spinor एक orthonormal समन्वय प्रणाली के साथ शुरू, एक tensor एक निश्चित तरीका है जब एक रोटेशन लागू किया जाता है में बदल देती है. हालांकि, वहाँ rotations कि tensors के लिए परिवर्तन कानून द्वारा प्रदर्शित नहीं है के समूह के लिए अतिरिक्त संरचना: अभिविन्यास उलझाव और प्लेट चाल देखें. गणितीय, रोटेशन समूह बस नहीं जुड़ा हुआ है. Spinors गणितीय वस्तुओं कि सामान्यीकरण tensors के लिए एक रास्ता है कि इस तथ्य के प्रति संवेदनशील है में परिवर्तन कानून हैं.


Multilinear प्रक्षेपण एक फार्म का मॉड्यूल की tensor उत्पाद [संपादित करें] अनुप्रयोग Tensor सिद्धांत के इंजीनियरिंग में आवेदन Covariant व्युत्पन्न टेढ़ापन प्रसार tensor एमआरआई आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों द्रव यांत्रिकी Multilinear subspace सीखने Riemannian ज्यामिति संरचना Tensor Tensor अपघटन Tensor व्युत्पन्न Tensor सॉफ्टवेयर [संपादित करें] नोट्स

अर्थात् ^ बीजीय प्रणाली (अब एक क्लिफर्ड बीजगणित के रूप में जाना जाता है) के एक खास प्रकार में आदर्श ऑपरेशन. ^ यह लेख अवधि के आदेश का उपयोग किया जाएगा, के बाद से शब्द रैंक matrices के संबंधित संदर्भ में एक अलग अर्थ है. ^ वेक्टर रिक्त स्थान इस लेख परिमित आयामी हो सकता है, जब तक अन्यथा नोट ग्रहण कर रहे हैं. ^ इस के लिए अलग शब्दावली के आसपास एक बहुतायत है. शब्द "आदेश", "प्रकार", "रैंक", "valence", और "डिग्री" उसी अवधारणा के लिए उपयोग में कर रहे हैं. इस लेख शब्द "आदेश" या सरणी के कुल आयाम (या अन्य परिभाषाओं में सामान्यीकरण) पिछले उदाहरण में मीटर के लिए कुल ऑर्डर और संख्या contravariant और covariant इंडेक्स देने जोड़ी के लिए शब्द "प्रकार" का उपयोग करता है . प्रकार (n, m - एन) के एक tensor भी एक "(n, m n)" के रूप में कम करने के लिए tensor संदर्भित किया जाता सकता है.==बाहरी कड़ियाँ==

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