आंशिक भिन्न

बीजगणित में, आंशिक भिन्न प्रसार (partial fraction expansion) एक विधि है जो किसी परिमेय भिन्न के अंश या हर के डेग्री (degree) को कम करने के काम आती है।

सांकेतिक रूप में, निम्नलिखित परिमेय भिन्न को आंशिक भिन्नों में तोड़ा जा सकता है-

$\frac{f(x)}{g(x)}$

जहाँ ƒ और g बहुपद (polynomials) है। इसके आंशिक भिन्न निम्नवत होंगे-

$\sum_j \frac{f_j(x)}{g_j(x)}$

जहाँ g_j (x) बहुपद हैं और ये g(x) के गुणखण्ड हैं।

उदाहरण -

${25 \over (x+2)(x^2+1)^2} = \frac{1}{x+2} + \frac{-x+2}{x^2+1}+\frac{-5x+10}{(x^2+1)^2} \ .$

विधि

माना दिया हुआ भिन्न $R(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}$ है तो:

विधि 1

जब दिये हुए भिन्न के हर को $x-a$ जैसे रैखिक गुणनखण्ड हो सकें ; जहाँ n >=1

$R(s)=\frac{P(s)}{(x-a)^n}=\frac{A1}{(x-a)}+\frac{A2}{(x-a)^2}+...+\frac{An}{(x-a)^n}$

विधि 2

जब दिये हुए भिन्न के हर का रैखिक गुणनखण्ड न हो बल्कि $(x-a)^2+b^2$ जैसे द्विघात गुणखण्ड हो (जहाँ n >= 1) :

$R(s)=\frac{P(s)}{[(x-a)^2+b^2]^n}=\frac{A1}{[(x-a)^2+b^2]}+\frac{A2}{[(x-a)^2+b^2]^2}+...+\frac{An}{[(x-a)^2+b^2]^n}$

बाहरी कड़ियाँ

• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर Partial Fraction Decomposition